가환대수학에서 정역(整域, 영어: integral domain)은 영인자가 존재하지 않는, 자명환이 아닌 가환환이다. 정역은 정수환의 일반화이며, 0이 아닌 원소의 역원을 추가하여 분수체를 만들 수 있다.
== 정의 ==
임의의 환
R
R
의 원소
r
∈
R
r\in R
에 대하여,
(
r
⋅
)
:
R
→
R
,
s
↦
r
s
(r\cdot )\colon R\to R,\;s\mapsto rs
가 단사 함수일 경우
r
r
를 정칙원(正則元素, 영어: regular element)이라고 한다.
(곱셈 항등원을 갖는) 가환환
R
R
에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 가환환을 정역이라고 한다.
R
R
는 다음 두 조건을 만족시킨다.
(영인자의 부재) 모든
a
,
b
∈
R
∖
{
0
}
a,b\in R\setminus \{0\}
에 대하여,
a
b
≠
0
ab\neq 0
이다.
(비자명성)
R
R
는 자명환이 아니다. 즉,
1
≠
0
1\neq 0
이다.
R
∖
{
0
}
R\setminus \{0\}
이 곱셈에 대하여 (공집합이 아닌) 가환 모노이드를 이룬다.
R
R
의 영 아이디얼이 소 아이디얼이다.
R
R
는 체의 부분환과 동형이다.
R
R
는 자명환이 아니며,
R
R
의 0이 아닌 모든 원소가 정칙원이다.스킴
X
X
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 스킴을 정역 스킴(整域scheme, 영어: integral scheme, 프랑스어: schéma intègre)이라고 한다.
X
X
는 공집합이 아니며, 공집합이 아닌 모든 아핀 열린집합
U
U
에 대하여
Γ
(
U
;
O
X
)
\Gamma (U;{\mathcal {O}}_{X})
는 정역이다.:82
X
X
는 축소 스킴이며 기약 스킴이다.:82, Proposition II.3.1
X
X
는 공집합이 아니며, 모든
x
∈
X
x\in X
에 대하여 줄기
O
X
,
x
{\mathcal {O}}_{X,x}
가 정역이며,
X
X
는 연결 공간이다.:66, Exercise 2.4.4
== 성질 ==
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
가환환 ⊋ 정역 ⊋ 정수적으로 닫힌 정역 ⊋ 크룰 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∪ 데데킨트 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∩ 데데킨트 정역 = 주 아이디얼 정역 ⊋ 유클리드 정역 ⊋ 체정역의 환의 표수는 0이거나 아니면 소수이다. 양의 표수
p
>
0
p>0
의 정역의 경우, 프로베니우스 사상
x
↦
x
p
x\mapsto x^{p}
은 단사 함수이다.
정역의 경우, 항상 분수체를 취할 수 있다.
가환환
R
R
및 아이디얼
a
⊂
R
{\mathfrak {a}}\subset R
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
a
{\mathfrak {a}}
가 소 아이디얼이다.
R
/
a
R/{\mathfrak {a}}
가 정역이다.정역의 귀납적 극한은 역시 정역이다.
가환환
R
R
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.:82, Example II.3.0.1:65
R
R
는 정역이다.
아핀 스킴
Spec
R
\operatorname {Spec} R
는 정역 스킴이다.웨더번 정리에 따르면, 모든 유한 정역은 유한체이다.
== 예 ==
정수환
Z
\mathbb {Z}
은 정역을 이룬다. 모든 체는 정역을 이룬다. 모든 대수적 수체의 대수적 정수환
O
K
{\mathcal {O}}_{K}
은 (데데킨트) 정역이다.
정수환의 몫환
Z
/
(
n
2
)
{\mathbb {Z} }/(n^{2})
의 경우,
n
≠
0
n\neq 0
이지만
n
⋅
n
=
0
n\cdot n=0
이므로 정역이 아니다.
모든 대수다양체는 정역 스킴이다.
== 같이 보기 ==
영역 (환론)
소환 (환론)
분수체
영인자
== 참고 문헌 ==
Lang, Serge (2002). 《Algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 211 3판. Springer. doi:10.1007/978-1-4613-0041-0. ISBN 978-1-4612-6551-1. ISSN 0072-5285. MR 1878556. Zbl 0984.00001.
== 외부 링크 ==
“Integral domain”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Integral domain”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Irreducible element”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
“Definition: Integral Domain”. 《ProofWiki》 (영어).
“Equivalence of Definitions of Integral Domain”. 《ProofWiki》 (영어).
“Definition: Irreducible”. 《ProofWiki》 (영어). 2013년 3월 16일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 8월 28일에 확인함.
“Definition: Trivial Factorization”. 《ProofWiki》 (영어).
“Integral domain”. 《nLab》 (영어).
“Integral scheme”. 《nLab》 (영어).
“Irreducible element”. 《Commalg》 (영어).
“Irreducible element not implies prime”. 《Commalg》 (영어).